área máxima cilindro inscrito en esfera de radio r
Para encontrar el área máxima de un cilindro inscrito en una esfera de radio \( r \), primero debemos entender que el cilindro inscrito tendrá una altura igual al diámetro de la esfera, es decir, \( 2r \).
El área total del cilindro está dada por la suma del área de las dos bases circulares y el área lateral. La fórmula del área de la base circular es \( \pi r^2 \) y la fórmula del área lateral es \( 2\pi rh \), donde \( r \) es el radio de la base y \( h \) es la altura.
Por lo tanto, el área total del cilindro inscrito es:
\[ A = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) \]
\[ A = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 \]
\[ A = 6\pi r^2 \]
Para encontrar el área máxima, derivamos la ecuación del área total con respecto a \( r \) y luego igualamos la derivada a cero para encontrar el valor crítico:
\[ \frac{dA}{dr} = 12\pi r \]
\[ 12\pi r = 0 \]
\[ r = 0 \]
Sin embargo, el radio no puede ser cero, por lo que debemos considerar el valor de \( r \) que hace que la derivada sea igual a cero. En este caso, el área máxima se obtiene cuando \( r = \frac{1}{\sqrt{2}} \) (aproximadamente 0.707).
Por lo tanto, el área máxima del cilindro inscrito en una esfera de radio \( r \) es:
\[ A_{\text{máx}} = 6\pi \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 \]
\[ A_{\text{máx}} = 6\pi \left( \frac{1}{2} \right) \]
\[ A_{\text{máx}} = 3\pi \]