Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima

Para encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima, primero necesitamos establecer la relación entre las dimensiones del rectángulo. Si denotamos el largo del rectángulo como "l" y el ancho como "w", entonces el área del rectángulo será A = l * w.

Dado que el área es máxima, necesitamos maximizar la función A = l * w sujeta a una restricción. En este caso, la restricción es que el perímetro del rectángulo es constante. El perímetro P de un rectángulo se calcula como P = 2l + 2w.

Para resolver este problema de optimización, podemos utilizar el método de derivadas parciales. Primero, expresamos el perímetro en términos de una sola variable. Podemos hacerlo despejando una de las variables en términos de la otra a partir de la restricción del perímetro.

P = 2l + 2w

w = (P - 2l) / 2

Luego, sustituimos esta expresión de w en la fórmula del área A = l * w para obtener el área en función de una sola variable.

A = l * ((P - 2l) / 2)

A = (P/2) * l - l^2

Ahora, derivamos esta función del área con respecto a l y encontramos el valor crítico donde la derivada es igual a cero.

dA/dl = P/2 - 2l

0 = P/2 - 2l

2l = P/2

l = P/4

Por lo tanto, el largo del rectángulo de área máxima es la mitad del perímetro, es decir, l = P/4. Para encontrar el ancho correspondiente, sustituimos este valor de l en la expresión de w en términos de l.

w = (P - 2(P/4)) / 2

w = (P - P/2) / 2

w = P/2 / 2

w = P/4

Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo de área máxima son: largo = P/4 y ancho = P/4.