Determinar el estimador de máxima verosimilitud ejercicios resueltos
Claro, aquí te presento un ejemplo resuelto para determinar el estimador de máxima verosimilitud.
Supongamos que tenemos una muestra de tamaño \(n\) de una variable aleatoria \(X\) con distribución exponencial con parámetro \(\lambda\). La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial es:
\[ f(x|\lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{para } x \geq 0 \]
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud de \(\lambda\), primero escribimos la función de verosimilitud \(L(\lambda)\) para la muestra de tamaño \(n\):
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} \]
Donde \(x_i\) son los valores observados en la muestra.
Para simplificar los cálculos, es común trabajar con el logaritmo de la función de verosimilitud, por lo que tomamos el logaritmo natural de \(L(\lambda)\):
\[ \ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} \ln(\lambda e^{-\lambda x_i}) = \sum_{i=1}^{n} (\ln \lambda - \lambda x_i) \]
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud de \(\lambda\), derivamos \(\ln L(\lambda)\) con respecto a \(\lambda\) y igualamos a cero:
\[ \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{d}{d\lambda} \left( \sum_{i=1}^{n} (\ln \lambda - \lambda x_i) \right) = 0 \]
Resolviendo esta ecuación, obtenemos el estimador de máxima verosimilitud de \(\lambda\).