Determinar un estimador para máxima verosimilitud ejercicios resueltos
Para determinar un estimador de máxima verosimilitud, primero necesitamos definir la función de verosimilitud y luego maximizarla con respecto al parámetro que queremos estimar. A continuación, te mostraré un ejemplo resuelto paso a paso:
Supongamos que tenemos una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de una distribución exponencial con función de densidad de probabilidad \(f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}\), donde \(\lambda\) es el parámetro que queremos estimar.
1. Función de verosimilitud:
La función de verosimilitud se define como el producto de las densidades de probabilidad de cada observación en la muestra. En este caso, la función de verosimilitud \(L(\lambda)\) para la muestra \(x_1, x_2, ..., x_n\) es:
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i} \]
2. Logaritmo de la función de verosimilitud:
Para facilitar la maximización, es común trabajar con el logaritmo de la función de verosimilitud. Por lo tanto, tomamos el logaritmo natural de la función de verosimilitud:
\[ \ln L(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i \]
3. Derivada de \(\ln L(\lambda)\) con respecto a \(\lambda\):
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud, igualamos la derivada de \(\ln L(\lambda)\) con respecto a \(\lambda\) a cero y resolvemos para \(\lambda\):
\[ \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0 \]
\[ \frac{n}{\lambda} = \sum_{i=1}^{n} x_i \]
\[ \lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i} \]
Por lo tanto, el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro \(\lambda\) en una distribución exponencial es \(\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i}\).
Espero que esta explicación te haya sido útil. ¿Hay algo más en lo que pueda ayudarte?