Ejemplos resueltos de estimadores máxima verosimilitud
Claro, aquí te presento dos ejemplos resueltos de estimadores de máxima verosimilitud:
1. Ejemplo de estimador de máxima verosimilitud para la media de una distribución normal:
Supongamos que tenemos una muestra aleatoria \(X_1, X_2, ..., X_n\) de una distribución normal con media \(\mu\) y varianza conocida \(\sigma^2\). Queremos encontrar el estimador de máxima verosimilitud para la media \(\mu\).
La función de densidad de una distribución normal es:
\[ f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
La función de verosimilitud para la muestra es:
\[ L(\mu) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
Tomando el logaritmo de la función de verosimilitud y derivándola con respecto a \(\mu\), obtenemos:
\[ \frac{d}{d\mu} \log L(\mu) = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu) \]
Igualando la derivada a cero para encontrar el máximo, obtenemos el estimador de máxima verosimilitud para la media:
\[ \hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Por lo tanto, el estimador de máxima verosimilitud para la media de una distribución normal es la media muestral.
2. Ejemplo de estimador de máxima verosimilitud para la probabilidad de éxito en una distribución binomial:
Supongamos que tenemos una muestra aleatoria \(X_1, X_2, ..., X_n\) de una distribución binomial con parámetros \(n\) y \(p\), donde \(n\) es el número de ensayos y \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo. Queremos encontrar el estimador de máxima verosimilitud para \(p\).
La función de masa de probabilidad de una distribución binomial es:
\[ f(x;n,p) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} \]
La función de verosimilitud para la muestra es:
\[ L(p) = \prod_{i=1}^{n} \binom{n}{x_i} p^{x_i} (1-p)^{n-x_i} \]
Tomando el logaritmo de la función de verosimilitud y derivándola con respecto a \(p\), obtenemos:
\[ \frac{d}{dp} \log L(p) = \frac{1}{p(1-p)} \left( \sum_{i=1}^{n} x_i - np \right) \]
Igualando la derivada a cero para encontrar el máximo, obtenemos el estimador de máxima verosimilitud para \(p\):
\[ \hat{p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Por lo tanto, el estimador de máxima verosimilitud para la probabilidad de éxito en una distribución binomial es la proporción de éxitos en la muestra.