Ejercicios de altura máxima y alcance horizontal resueltos
Para calcular la altura máxima y el alcance horizontal de un proyectil lanzado con un ángulo y una velocidad inicial determinados, se pueden utilizar las siguientes fórmulas:
Altura máxima (hmax):
\[ h_{max} = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2(\theta)}{2g} \]
Alcance horizontal (R):
\[ R = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}{g} \]
Donde:
- \( v_0 \) es la velocidad inicial del proyectil en m/s
- \( \theta \) es el ángulo de lanzamiento en radianes
- \( g \) es la aceleración debida a la gravedad, aproximadamente 9.81 m/s²
A continuación, se presenta un ejemplo resuelto:
Supongamos que un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 20 m/s y un ángulo de 45 grados respecto a la horizontal. Calcularemos la altura máxima y el alcance horizontal.
1. Convertimos el ángulo a radianes:
\[ \theta = 45° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \]
2. Calculamos la altura máxima:
\[ h_{max} = \frac{(20)^2 \cdot \sin^2(\frac{\pi}{4})}{2 \cdot 9.81} \]
\[ h_{max} = \frac{400 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{19.62} \]
\[ h_{max} = \frac{400 \cdot \frac{1}{2}}{19.62} \]
\[ h_{max} = \frac{200}{19.62} \]
\[ h_{max} \approx 10.19 \, \text{metros} \]
3. Calculamos el alcance horizontal:
\[ R = \frac{(20)^2 \cdot \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})}{9.81} \]
\[ R = \frac{400 \cdot \sin(\frac{\pi}{2})}{9.81} \]
\[ R = \frac{400 \cdot 1}{9.81} \]
\[ R \approx 40.79 \, \text{metros} \]
Por lo tanto, en este caso, la altura máxima alcanzada por el proyectil es de aproximadamente 10.19 metros y el alcance horizontal es de aproximadamente 40.79 metros.