Ejercicios resueltos de proudictibvidad máxima

Para encontrar la productividad máxima en un problema de optimización, se puede utilizar cálculo diferencial para encontrar el punto crítico de la función de productividad y luego determinar si es un máximo o mínimo. A continuación, te mostraré un ejemplo resuelto paso a paso:

Problema:

Una empresa fabrica dos tipos de productos, A y B. La empresa puede producir como máximo 100 unidades de producto A y 150 unidades de producto B por día. El beneficio por unidad de producto A es de $10 y por unidad de producto B es de $15. La empresa estima que la función de costos totales diarios es de $2x + $3y, donde x es la cantidad de producto A producido y y es la cantidad de producto B producido. ¿Cuántas unidades de cada producto debe producir la empresa para maximizar su beneficio?

Solución:

1. Definir las variables:

Sea x la cantidad de unidades de producto A producidas y y la cantidad de unidades de producto B producidas.

2. Plantear la función objetivo:

La función de beneficio total es B(x, y) = 10x + 15y.

3. Restricciones:

- La empresa puede producir como máximo 100 unidades de producto A: x ≤ 100

- La empresa puede producir como máximo 150 unidades de producto B: y ≤ 150

4. Función de costos totales:

La función de costos totales es C(x, y) = 2x + 3y.

5. Función de productividad:

La función de productividad es P(x, y) = B(x, y) - C(x, y) = 10x + 15y - (2x + 3y) = 8x + 12y.

6. Encontrar el punto crítico:

Calcular las derivadas parciales de la función de productividad:

∂P/∂x = 8

∂P/∂y = 12

Igualar las derivadas parciales a cero para encontrar el punto crítico:

8 = 0

12 = 0

Como las derivadas parciales no tienen solución, no hay punto crítico en este caso.

7. Evaluar en los límites de las restricciones:

- Para x = 100, y = 0: P(100, 0) = 8(100) + 12(0) = 800

- Para x = 0, y = 150: P(0, 150) = 8(0) + 12(150) = 1800

Por lo tanto, la empresa debe producir 0 unidades de producto A y 150 unidades de producto B para maximizar su beneficio, con una productividad máxima de $1800.

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