Ejercicios resueltos de proudictibvidad máxima
Para encontrar la productividad máxima en un problema de optimización, se puede utilizar cálculo diferencial para encontrar el punto crítico de la función de productividad y luego determinar si es un máximo o mínimo. A continuación, te mostraré un ejemplo resuelto paso a paso:
Problema:
Una empresa fabrica dos tipos de productos, A y B. La empresa puede producir como máximo 100 unidades de producto A y 150 unidades de producto B por día. El beneficio por unidad de producto A es de $10 y por unidad de producto B es de $15. La empresa estima que la función de costos totales diarios es de $2x + $3y, donde x es la cantidad de producto A producido y y es la cantidad de producto B producido. ¿Cuántas unidades de cada producto debe producir la empresa para maximizar su beneficio?
Solución:
1. Definir las variables:
Sea x la cantidad de unidades de producto A producidas y y la cantidad de unidades de producto B producidas.
2. Plantear la función objetivo:
La función de beneficio total es B(x, y) = 10x + 15y.
3. Restricciones:
- La empresa puede producir como máximo 100 unidades de producto A: x ≤ 100
- La empresa puede producir como máximo 150 unidades de producto B: y ≤ 150
4. Función de costos totales:
La función de costos totales es C(x, y) = 2x + 3y.
5. Función de productividad:
La función de productividad es P(x, y) = B(x, y) - C(x, y) = 10x + 15y - (2x + 3y) = 8x + 12y.
6. Encontrar el punto crítico:
Calcular las derivadas parciales de la función de productividad:
∂P/∂x = 8
∂P/∂y = 12
Igualar las derivadas parciales a cero para encontrar el punto crítico:
8 = 0
12 = 0
Como las derivadas parciales no tienen solución, no hay punto crítico en este caso.
7. Evaluar en los límites de las restricciones:
- Para x = 100, y = 0: P(100, 0) = 8(100) + 12(0) = 800
- Para x = 0, y = 150: P(0, 150) = 8(0) + 12(150) = 1800
Por lo tanto, la empresa debe producir 0 unidades de producto A y 150 unidades de producto B para maximizar su beneficio, con una productividad máxima de $1800.