Estimación regresión lineal por máxima verosimilitud
La estimación de los parámetros en un modelo de regresión lineal por máxima verosimilitud implica encontrar los valores de los coeficientes de regresión que maximizan la función de verosimilitud. En un modelo de regresión lineal, la función de verosimilitud se define como la probabilidad de observar los datos dados los parámetros del modelo.
Para un modelo de regresión lineal simple, la función de verosimilitud se puede expresar como:
\[ L(\beta_0, \beta_1, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)^2}{2\sigma^2}\right) \]
Donde \( \beta_0 \) y \( \beta_1 \) son los coeficientes de regresión, \( \sigma^2 \) es la varianza del error, \( x_i \) son los valores de las variables independientes y \( y_i \) son los valores observados de la variable dependiente.
Para encontrar los valores de \( \beta_0 \), \( \beta_1 \) y \( \sigma^2 \) que maximizan la función de verosimilitud, se pueden utilizar técnicas de optimización como el método de Newton-Raphson o el método de descenso del gradiente.
Una vez estimados los parámetros, se pueden realizar inferencias sobre la relación entre las variables independientes y dependientes, así como predecir nuevos valores de la variable dependiente en función de los valores de las variables independientes.
Es importante tener en cuenta que la estimación por máxima verosimilitud asume que los errores del modelo siguen una distribución normal y que los datos son independientes e idénticamente distribuidos.