Estimador de máxima verosimilitud de función beta
El estimador de máxima verosimilitud de una distribución beta se puede obtener a partir de la función de densidad de probabilidad de la distribución beta. La función de densidad de probabilidad de una distribución beta con parámetros \( \alpha \) y \( \beta \) está dada por:
\[ f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)} \]
donde \( B(\alpha, \beta) \) es la función beta, que es una constante de normalización.
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud de los parámetros \( \alpha \) y \( \beta \) de una distribución beta a partir de una muestra de datos, se busca maximizar la función de verosimilitud. Dado un conjunto de observaciones \( x_1, x_2, ..., x_n \), la función de verosimilitud \( L(\alpha, \beta) \) está dada por el producto de las densidades de probabilidad de cada observación:
\[ L(\alpha, \beta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \alpha, \beta) \]
Para encontrar los estimadores de máxima verosimilitud de \( \alpha \) y \( \beta \), se debe derivar la función de verosimilitud con respecto a \( \alpha \) y \( \beta \), igualar las derivadas a cero y resolver el sistema de ecuaciones resultante.
Este proceso puede ser complejo y en muchos casos se recurre a software especializado para encontrar los estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros de la distribución beta a partir de una muestra de datos.