Estimador de máxima verosimilitud ejercicios resueltos

Claro, aquí tienes un ejemplo de un ejercicio resuelto utilizando el estimador de máxima verosimilitud:

Supongamos que tenemos una muestra de tamaño 10 de una variable aleatoria X que sigue una distribución normal con media desconocida μ y varianza conocida σ^2 = 4. Los datos de la muestra son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Queremos encontrar el estimador de máxima verosimilitud para la media μ de la distribución normal.

La función de densidad de probabilidad de una distribución normal es:

f(x; μ, σ^2) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * exp(-(x - μ)^2 / (2σ^2))

La función de verosimilitud L(μ) para la muestra dada es el producto de las densidades de probabilidad para cada observación en la muestra:

L(μ) = f(2; μ, 4) * f(4; μ, 4) * ... * f(20; μ, 4)

Calculamos el logaritmo de la función de verosimilitud para facilitar el cálculo:

ln(L(μ)) = ln(f(2; μ, 4)) + ln(f(4; μ, 4)) + ... + ln(f(20; μ, 4))

ln(L(μ)) = -5.42 - 4.42 - 3.42 - 2.42 - 1.42 - 0.42 + 0.58 + 1.58 + 2.58 + 3.58

ln(L(μ)) = -9.56

Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud para μ, derivamos ln(L(μ)) con respecto a μ y igualamos a cero:

d/dμ ln(L(μ)) = 0

Resolviendo la derivada:

d/dμ ln(L(μ)) = 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Esto implica que el estimador de máxima verosimilitud para μ es el valor que maximiza la función de verosimilitud, que en este caso es la media muestral:

μ_estimado = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20) / 10 = 10

Por lo tanto, el estimador de máxima verosimilitud para la media μ de la distribución normal en este caso es 10.