Estimador máxima verosimilitud exponencial
El estimador de máxima verosimilitud para la distribución exponencial se calcula de la siguiente manera:
Dada una muestra aleatoria \( X_1, X_2, ..., X_n \) de una distribución exponencial con función de densidad \( f(x|\lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \), donde \( \lambda \) es el parámetro de la distribución, el estimador de máxima verosimilitud para \( \lambda \) se obtiene maximizando la función de verosimilitud:
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i} \]
Tomando el logaritmo natural de la función de verosimilitud, se obtiene la función log-verosimilitud:
\[ l(\lambda) = n \ln(\lambda) - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud, se deriva la función log-verosimilitud con respecto a \( \lambda \), se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante. La solución a esta ecuación es el estimador de máxima verosimilitud para \( \lambda \), que en el caso de la distribución exponencial es:
\[ \hat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i} \]
Este es el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro \( \lambda \) en la distribución exponencial.