Estimadores de máxima verosimilitud distribución normal

Para encontrar los estimadores de máxima verosimilitud de una distribución normal, se sigue el siguiente procedimiento:

Dada una muestra aleatoria \( X_1, X_2, ..., X_n \) de una distribución normal con media \( \mu \) y varianza \( \sigma^2 \), la función de densidad de probabilidad de la distribución normal es:

\[ f(x_i | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

La función de verosimilitud \( L(\mu, \sigma^2) \) para esta muestra es el producto de las densidades de probabilidad de cada observación:

\[ L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

Para encontrar los estimadores de máxima verosimilitud de \( \mu \) y \( \sigma^2 \), se maximiza esta función de verosimilitud. Sin embargo, es más común maximizar el logaritmo de la función de verosimilitud, ya que simplifica los cálculos y no afecta la posición de los máximos. El logaritmo de la función de verosimilitud es:

\[ \log L(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \log(2\pi) - \frac{n}{2} \log(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \]

Para encontrar los estimadores de máxima verosimilitud, se derivan parcialmente esta función con respecto a \( \mu \) y \( \sigma^2 \), se igualan a cero y se resuelven las ecuaciones resultantes. Los estimadores de máxima verosimilitud para la media y la varianza de una distribución normal son:

Estimador de máxima verosimilitud de la media \( \mu \):

\[ \hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

Estimador de máxima verosimilitud de la varianza \( \sigma^2 \):

\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \hat{\mu})^2 \]

Estos son los estimadores de máxima verosimilitud para la media y la varianza de una distribución normal.