Máxima verosimilitud distribución poisson
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que se utiliza para modelar la ocurrencia de eventos raros en un intervalo de tiempo o espacio fijo. La función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson está dada por:
\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]
donde \( k \) es el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio fijo, y \( \lambda \) es el parámetro de la distribución que representa el número promedio de eventos que se espera que ocurran en ese intervalo.
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud del parámetro \( \lambda \) en una distribución de Poisson, se busca el valor de \( \lambda \) que maximiza la función de verosimilitud. Dado un conjunto de observaciones \( x_1, x_2, ..., x_n \), la función de verosimilitud se define como el producto de las probabilidades de observar cada valor \( x_i \) dado \( \lambda \):
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} \]
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud de \( \lambda \), se deriva la función de verosimilitud con respecto a \( \lambda \), se iguala a cero y se resuelve para \( \lambda \). En el caso de la distribución de Poisson, el estimador de máxima verosimilitud de \( \lambda \) es simplemente la media de las observaciones:
\[ \hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Este estimador es consistente, eficiente y no sesgado para el parámetro \( \lambda \) en la distribución de Poisson.