Máxima verosimilitud ejercicios resueltos

La estimación por máxima verosimilitud es un método comúnmente utilizado en estadística para encontrar los valores de los parámetros de un modelo que maximizan la probabilidad de observar los datos que se han recopilado. A continuación, te presento un ejemplo resuelto de estimación por máxima verosimilitud:

Supongamos que tenemos una muestra de 10 observaciones de una variable aleatoria X que sigue una distribución normal con media desconocida (μ) y varianza conocida (σ^2). Queremos encontrar el valor de μ que maximiza la verosimilitud de los datos observados.

Pasos a seguir:

1. Escribir la función de verosimilitud:

La función de verosimilitud para una distribución normal es:

L(μ) = Π (1 / √(2πσ^2)) * exp(-(x_i - μ)^2 / (2σ^2))

Donde Π denota el producto de todos los términos en la expresión y x_i son las observaciones de la muestra.

2. Tomar el logaritmo de la función de verosimilitud:

Es común trabajar con el logaritmo de la función de verosimilitud para simplificar los cálculos y facilitar la maximización. Entonces, tomamos el logaritmo natural de la función de verosimilitud:

l(μ) = Σ (-1/2) * log(2πσ^2) - Σ (x_i - μ)^2 / (2σ^2)

3. Maximizar la función de log-verosimilitud:

Para encontrar el valor de μ que maximiza la función de log-verosimilitud, derivamos la función con respecto a μ, igualamos a cero y resolvemos para μ.

d/dμ l(μ) = Σ (x_i - μ) / σ^2 = 0

Σ (x_i - μ) = 0

Σ x_i - 10μ = 0

μ = Σ x_i / 10

Por lo tanto, el estimador de máxima verosimilitud para la media μ es la media muestral.

Este es un ejemplo simplificado de cómo se realiza la estimación por máxima verosimilitud en un caso concreto. Los cálculos pueden variar dependiendo de la distribución y la complejidad del modelo.