Máxima verosimilitud probar que es minimo
Para probar que la estimación de máxima verosimilitud es un estimador mínimo, podemos utilizar el criterio de la invarianza de la máxima verosimilitud. Este criterio establece que si un estimador es invariante bajo transformaciones biyectivas, entonces es un estimador mínimo.
En el caso de la estimación de máxima verosimilitud, si demostramos que es invariante bajo transformaciones biyectivas, entonces podemos concluir que es un estimador mínimo.
Para demostrar la invarianza de la máxima verosimilitud, consideremos un estimador $\hat{\theta}$ basado en la función de verosimilitud $L(\theta|x)$ y una transformación biyectiva $g(\cdot)$.
La función de verosimilitud transformada sería $L^*(\theta|x) = L(g(\theta)|x)$.
Entonces, el estimador de máxima verosimilitud bajo la transformación sería $\hat{\theta}^* = \arg\max_{\theta} L^*(\theta|x) = \arg\max_{\theta} L(g(\theta)|x)$.
Si la transformación $g(\cdot)$ es biyectiva, entonces podemos escribir $\hat{\theta}^* = g^{-1}(\arg\max_{\theta} L(g(\theta)|x))$.
Dado que $\hat{\theta}$ es el estimador de máxima verosimilitud original, tenemos que $\hat{\theta} = \arg\max_{\theta} L(\theta|x)$.
Por lo tanto, $\hat{\theta} = g^{-1}(\arg\max_{\theta} L(g(\theta)|x))$, lo que implica que el estimador de máxima verosimilitud es invariante bajo transformaciones biyectivas.
De esta manera, hemos demostrado que la estimación de máxima verosimilitud es un estimador mínimo.