Método de máxima verosimilitud ejercicios resueltos

Para ilustrar el método de máxima verosimilitud, consideremos el siguiente ejercicio resuelto:

Supongamos que tenemos una muestra de 10 observaciones de una variable aleatoria X que sigue una distribución normal con media desconocida μ y varianza conocida σ^2 = 4. Las observaciones de la muestra son: 3, 5, 7, 4, 6, 8, 9, 5, 6, 7.

Queremos estimar el valor de la media μ utilizando el método de máxima verosimilitud.

El primer paso es escribir la función de verosimilitud. Dado que las observaciones siguen una distribución normal, la función de densidad de probabilidad es:

f(x; μ, σ^2) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * exp(-(x - μ)^2 / (2σ^2))

La función de verosimilitud L(μ) para una muestra de tamaño n es el producto de las densidades de probabilidad de cada observación:

L(μ) = f(x1; μ, σ^2) * f(x2; μ, σ^2) * ... * f(xn; μ, σ^2)

En nuestro caso, la función de verosimilitud se convierte en:

L(μ) = (1 / sqrt(2π4)) * exp(-(3 - μ)^2 / 8) * (1 / sqrt(2π4)) * exp(-(5 - μ)^2 / 8) * ... * (1 / sqrt(2π4)) * exp(-(7 - μ)^2 / 8)

El siguiente paso es maximizar esta función de verosimilitud. Para simplificar los cálculos, es común maximizar el logaritmo de la función de verosimilitud, ya que el logaritmo es una función creciente y facilita los cálculos matemáticos.

l(μ) = log(L(μ)) = log((1 / sqrt(2π4))^n) - (1/8) * [(3 - μ)^2 + (5 - μ)^2 + ... + (7 - μ)^2]

Para maximizar esta función, derivamos con respecto a μ, igualamos a cero y resolvemos para encontrar el valor de μ que maximiza la verosimilitud.

d/dμ l(μ) = 0

Resolviendo esta ecuación, obtendremos el estimador de máxima verosimilitud para la media μ. En este caso, el estimador de máxima verosimilitud para μ es la media muestral, es decir, la suma de las observaciones dividida por el número de observaciones.

En resumen, el método de máxima verosimilitud consiste en encontrar el valor de los parámetros de un modelo estadístico que maximiza la probabilidad de observar los datos que hemos obtenido.