Método de máxima verosimilitud para una distribución poisson
El método de máxima verosimilitud es una técnica utilizada para estimar los parámetros de una distribución de probabilidad que mejor se ajustan a un conjunto de datos observados. En el caso de la distribución de Poisson, el objetivo es encontrar el valor del parámetro lambda (λ) que maximiza la verosimilitud de los datos observados.
La distribución de Poisson se utiliza para modelar la ocurrencia de eventos raros en un intervalo de tiempo o espacio fijo. La función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson está dada por:
\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]
Donde:
- \( X \) es la variable aleatoria que representa el número de eventos ocurridos en un intervalo de tiempo o espacio.
- \( k \) es el número de eventos observados.
- \( \lambda \) es el parámetro de la distribución de Poisson que representa la tasa media de ocurrencia de eventos en el intervalo de tiempo o espacio.
Para aplicar el método de máxima verosimilitud a una distribución de Poisson, se busca encontrar el valor de lambda (λ) que maximiza la función de verosimilitud, que en este caso es el producto de las probabilidades de observar los eventos dados los parámetros λ y los datos observados.
Este proceso implica derivar la función de verosimilitud con respecto a λ, igualarla a cero y resolver para λ. La solución obtenida será la estimación de máxima verosimilitud para el parámetro λ de la distribución de Poisson.
Es importante tener en cuenta que en la práctica, se suelen utilizar software estadístico especializado para realizar este cálculo, ya que puede ser complejo de hacer manualmente, especialmente con conjuntos de datos grandes.