Sacar altura máxima tiro parabolico con derivadas

Para encontrar la altura máxima de un tiro parabólico utilizando derivadas, primero necesitamos establecer la ecuación de la trayectoria del proyectil. La ecuación general de la trayectoria de un proyectil lanzado con una velocidad inicial \(v_0\) y un ángulo \(\theta\) con respecto a la horizontal es:

\[ y = x \tan(\theta) - \frac{g x^2}{2v_0^2 \cos^2(\theta)} \]

Donde:

- \(y\) es la altura vertical en función de la distancia horizontal \(x\),

- \(g\) es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente \(9.81 \, m/s^2\) en la Tierra).

Para encontrar la altura máxima, necesitamos derivar la ecuación de la trayectoria con respecto a \(x\) y luego igualar la derivada a cero para encontrar el punto donde la altura es máxima. La altura máxima se alcanza cuando la velocidad vertical es cero.

Vamos a derivar la ecuación de la trayectoria con respecto a \(x\):

\[ \frac{dy}{dx} = \tan(\theta) - \frac{gx}{v_0^2 \cos^2(\theta)} \]

Ahora igualamos la derivada a cero para encontrar el punto donde la altura es máxima:

\[ \frac{dy}{dx} = 0 \]

\[ \tan(\theta) - \frac{gx}{v_0^2 \cos^2(\theta)} = 0 \]

Resolviendo para \(x\), obtenemos la distancia horizontal en la que se alcanza la altura máxima. Una vez que tengamos el valor de \(x\), podemos sustituirlo en la ecuación de la trayectoria para encontrar la altura máxima correspondiente.

Es importante recordar que este cálculo asume condiciones ideales y no tiene en cuenta la resistencia del aire u otros factores que puedan afectar el movimiento del proyectil en la realidad.