Vector que haga máxima la derivada direccional

Para encontrar el vector que maximiza la derivada direccional de una función en un punto dado, primero necesitamos calcular la derivada direccional en todas las direcciones posibles y luego encontrar la dirección en la que la derivada direccional es máxima.

Supongamos que tenemos una función \( f(x, y) \) y queremos encontrar el vector que maximiza la derivada direccional en el punto \( (a, b) \). La derivada direccional en la dirección de un vector unitario \( \mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle \) en el punto \( (a, b) \) se calcula como:

\[ D_{\mathbf{v}} f(a, b) = \nabla f(a, b) \cdot \mathbf{v} \]

Donde \( \nabla f(a, b) \) es el gradiente de la función \( f \) en el punto \( (a, b) \), dado por:

\[ \nabla f(a, b) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(a, b), \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) \right) \]

Para maximizar la derivada direccional, necesitamos encontrar el vector unitario \( \mathbf{v} \) que maximiza \( D_{\mathbf{v}} f(a, b) \). Esto se logra al elegir \( \mathbf{v} \) igual a la dirección del gradiente \( \nabla f(a, b) \), es decir:

\[ \mathbf{v} = \frac{\nabla f(a, b)}{\| \nabla f(a, b) \|} \]

Por lo tanto, el vector que maximiza la derivada direccional de la función en el punto \( (a, b) \) es el vector unitario en la dirección del gradiente de la función en ese punto.