área rectangular máxima que puede encerrarse con 80 metros

Para encontrar el área rectangular máxima que puede encerrarse con 80 metros de perímetro, primero necesitamos determinar las dimensiones del rectángulo que maximizan el área.

Sea \( l \) la longitud y \( w \) el ancho del rectángulo. Sabemos que el perímetro \( P \) de un rectángulo se calcula como:

\[ P = 2l + 2w \]

Dado que el perímetro es de 80 metros, podemos escribir:

\[ 80 = 2l + 2w \]

Dividiendo ambos lados por 2, obtenemos:

\[ 40 = l + w \]

El área \( A \) de un rectángulo se calcula como:

\[ A = l \times w \]

Para maximizar el área, necesitamos maximizar la función \( A = l \times w \) sujeta a la restricción \( l + w = 40 \).

Para resolver este problema de optimización, podemos utilizar el método de sustitución. Despejamos una de las variables en términos de la otra de la restricción y luego sustituimos en la función a maximizar.

Despejando \( l \) en términos de \( w \) en la restricción \( l + w = 40 \), obtenemos \( l = 40 - w \).

Sustituyendo \( l = 40 - w \) en la función del área \( A = l \times w \), obtenemos:

\[ A = (40 - w) \times w \]

Expandiendo esta expresión, obtenemos:

\[ A = 40w - w^2 \]

Para encontrar el valor de \( w \) que maximiza el área, derivamos la función \( A \) con respecto a \( w \) y buscamos el valor crítico:

\[ \frac{dA}{dw} = 40 - 2w \]

Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor crítico:

\[ 40 - 2w = 0 \]

\[ 2w = 40 \]

\[ w = 20 \]

Sustituyendo \( w = 20 \) en la restricción \( l + w = 40 \), obtenemos \( l = 20 \).

Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo que maximizan el área son \( l = 20 \) metros y \( w = 20 \) metros. El área máxima que puede encerrarse con 80 metros de perímetro es:

\[ A = l \times w = 20 \times 20 = 400 \text{ metros cuadrados} \]

Por lo tanto, el área rectangular máxima que puede encerrarse con 80 metros de perímetro es de 400 metros cuadrados.