Distancia máxima lanzamiento de pelota derivadas seno
Para encontrar la distancia máxima alcanzada por una pelota lanzada con un ángulo de lanzamiento $\theta$ y una velocidad inicial $v$, podemos utilizar la ecuación de la trayectoria de un proyectil en dos dimensiones. La ecuación de la trayectoria en el eje $x$ es:
$$x(t) = v \cdot t \cdot \cos(\theta)$$
Y la ecuación de la trayectoria en el eje $y$ es:
$$y(t) = v \cdot t \cdot \sin(\theta) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$$
Donde $g$ es la aceleración debida a la gravedad y $t$ es el tiempo de vuelo. La distancia máxima se alcanza cuando la altura $y(t)$ es máxima, es decir, cuando la derivada de $y(t)$ con respecto a $t$ es igual a cero.
Calculamos la derivada de $y(t)$ con respecto a $t$:
$$\frac{dy}{dt} = v \cdot \sin(\theta) - g \cdot t$$
Igualamos la derivada a cero para encontrar el tiempo en el que la altura es máxima:
$$v \cdot \sin(\theta) - g \cdot t = 0$$
Despejamos $t$:
$$t = \frac{v \cdot \sin(\theta)}{g}$$
Sustituimos este valor de $t$ en la ecuación de la distancia en el eje $x$ para obtener la distancia máxima:
$$x_{\text{max}} = v \cdot \left(\frac{v \cdot \sin(\theta)}{g}\right) \cdot \cos(\theta)$$
Simplificando:
$$x_{\text{max}} = \frac{v^2 \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)}{g}$$
Por lo tanto, la distancia máxima alcanzada por una pelota lanzada con un ángulo $\theta$ y velocidad inicial $v$ es $\frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}$.