Ejercicios resueltos estimador de máxima verosimilitud pdf
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud (EMV) de un parámetro en una distribución de probabilidad, es necesario maximizar la función de verosimilitud. A continuación, te mostraré un ejemplo resuelto de cómo encontrar el EMV para un parámetro en una distribución de probabilidad.
Supongamos que tenemos una muestra aleatoria \( X_1, X_2, ..., X_n \) de una distribución exponencial con función de densidad de probabilidad (pdf) dada por:
\[ f(x|\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \ \ x > 0 \]
Donde \( \lambda \) es el parámetro de la distribución exponencial que queremos estimar.
La función de verosimilitud para esta muestra aleatoria es el producto de las densidades de probabilidad para cada observación:
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} \]
Para encontrar el EMV de \( \lambda \), tomamos el logaritmo natural de la función de verosimilitud y derivamos con respecto a \( \lambda \), igualando a cero para encontrar el máximo:
\[ \ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} \ln(\lambda e^{-\lambda x_i}) \]
\[ \ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} \ln(\lambda) - \lambda x_i \]
Derivando con respecto a \( \lambda \) e igualando a cero:
\[ \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0 \]
Resolviendo para \( \lambda \), obtenemos el estimador de máxima verosimilitud:
\[ \hat{\lambda}_{EMV} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i} \]
Este es el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro \( \lambda \) en la distribución exponencial.