Estimador de máxima verossimilhança exercícios resolvidos
Claro, vou resolver um exercício de estimador de máxima verossimilhança para você:
Suponha que temos uma amostra de tamanho 5 de uma distribuição exponencial com parâmetro desconhecido λ. A função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial é dada por f(x|λ) = λ * exp(-λx) para x >= 0.
Vamos encontrar o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro λ.
A função de verossimilhança L(λ) é dada pelo produto das densidades de probabilidade para cada observação na amostra. Ou seja, L(λ) = λ^5 * exp(-λ * (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)), onde x1, x2, x3, x4 e x5 são as observações na amostra.
Para encontrar o estimador de máxima verossimilhança, devemos maximizar a função de verossimilhança em relação ao parâmetro λ. Para isso, podemos maximizar o logaritmo da função de verossimilhança, pois o logaritmo é uma função crescente e facilita o cálculo.
Então, calculamos o logaritmo da função de verossimilhança:
l(λ) = log(L(λ)) = 5 * log(λ) - λ * (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)
Para encontrar o estimador de máxima verossimilhança, derivamos a função logaritmo da verossimilhança em relação a λ e igualamos a zero:
d/dλ l(λ) = 5/λ - (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) = 0
Resolvendo para λ, obtemos:
5/λ = x1 + x2 + x3 + x4 + x5
λ = 5 / (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)
Portanto, o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro λ é a inversa da média da amostra.
Espero que esta explicação tenha sido útil. Se tiver mais alguma dúvida ou quiser que eu resolva outro exercício, fique à vontade para perguntar.