Estimador máxima verosimilitud poisson

Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud para un modelo Poisson, primero necesitamos entender la distribución Poisson. La distribución Poisson es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio fijo, dado que los eventos ocurren con una tasa promedio constante y de forma independiente.

La función de masa de probabilidad de la distribución Poisson está dada por:

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]

donde \( \lambda \) es el parámetro de la distribución Poisson que representa la tasa promedio de ocurrencia de eventos.

Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud para \( \lambda \) en un conjunto de datos observados \( x_1, x_2, ..., x_n \), podemos construir la función de verosimilitud \( L(\lambda) \) que representa la probabilidad conjunta de observar los datos dados un valor específico de \( \lambda \). Luego, maximizamos esta función para encontrar el valor de \( \lambda \) que maximiza la probabilidad de observar los datos.

La función de verosimilitud para la distribución Poisson es:

\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} \]

Tomando el logaritmo natural de la función de verosimilitud, obtenemos la función log-verosimilitud:

\[ l(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} (-\lambda + x_i \log(\lambda) - \log(x_i!)) \]

Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud para \( \lambda \), derivamos la función log-verosimilitud con respecto a \( \lambda \), igualamos la derivada a cero y resolvemos para \( \lambda \).

\[ \frac{dl}{d\lambda} = -n + \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{\lambda} = 0 \]

Resolviendo para \( \lambda \), obtenemos el estimador de máxima verosimilitud para \( \lambda \) en un modelo Poisson:

\[ \hat{\lambda} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

Este es el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro \( \lambda \) en un modelo Poisson basado en un conjunto de datos observados.