Matemáticas recta de máxima pendiente de dos vectores
Para encontrar la recta de máxima pendiente que pasa por el origen y es perpendicular a dos vectores dados, primero necesitamos encontrar el vector normal a los dos vectores dados. Luego, la recta de máxima pendiente será la recta que pasa por el origen y tiene como dirección el vector normal encontrado.
Supongamos que tenemos dos vectores \( \vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \) y \( \vec{w} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \).
Para encontrar el vector normal a \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \), calculamos el producto cruz de los dos vectores:
\[ \vec{n} = \vec{v} \times \vec{w} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = ad - bc \]
Entonces, el vector normal a los dos vectores dados es \( \vec{n} = \begin{pmatrix} ad - bc \\ -(a + c) \end{pmatrix} \).
La recta de máxima pendiente que pasa por el origen y es perpendicular a los vectores \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) tendrá la ecuación de la forma:
\[ y = mx \]
Donde \( m \) es la pendiente de la recta y \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) es un punto en la recta. Dado que la recta pasa por el origen, el punto \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) está en la recta.
Por lo tanto, la ecuación de la recta de máxima pendiente que pasa por el origen y es perpendicular a los vectores \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) es:
\[ y = \frac{-(a + c)}{ad - bc}x \]