Triangulo inscrito área máxima
Para encontrar el triángulo inscrito en un círculo con área máxima, primero debemos recordar que en un triángulo inscrito en una circunferencia, el ángulo central es el doble del ángulo inscrito en la circunferencia.
Dado que queremos maximizar el área del triángulo inscrito, debemos buscar el triángulo equilátero inscrito en el círculo, ya que el triángulo equilátero tiene el área máxima para un perímetro dado.
Para encontrar el área de un triángulo equilátero, podemos usar la fórmula:
\[ A = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4} \]
Donde \( A \) es el área del triángulo, y \( s \) es la longitud de un lado del triángulo.
Para un triángulo equilátero inscrito en un círculo, la longitud de un lado del triángulo es igual al diámetro del círculo. Por lo tanto, el área del triángulo equilátero inscrito en el círculo con radio \( r \) es:
\[ A = \frac{(2r)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4r^2 \sqrt{3}}{4} = r^2 \sqrt{3} \]
Por lo tanto, el área máxima de un triángulo inscrito en un círculo es \( r^2 \sqrt{3} \), que se obtiene cuando el triángulo es equilátero.