Estimador de máxima verosimilitud poisson
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud para un modelo Poisson, primero necesitamos definir la función de verosimilitud. En el caso de la distribución Poisson, la función de verosimilitud se define como:
\[ L(\lambda; x_1, x_2, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} \]
Donde \( \lambda \) es el parámetro de la distribución Poisson y \( x_1, x_2, ..., x_n \) son las observaciones.
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud para \( \lambda \), necesitamos maximizar esta función de verosimilitud. En lugar de maximizar el producto de probabilidades, es más común maximizar el logaritmo de la función de verosimilitud, ya que simplifica los cálculos y no afecta la posición del máximo. Por lo tanto, la función logaritmo de verosimilitud se define como:
\[ l(\lambda; x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n} (-\lambda + x_i \log(\lambda) - \log(x_i!)) \]
Para encontrar el estimador de máxima verosimilitud, se debe derivar esta función con respecto a \( \lambda \), igualar la derivada a cero y resolver para \( \lambda \). La solución a esta ecuación nos dará el estimador de máxima verosimilitud para \( \lambda \).
Una vez que se obtiene el estimador de máxima verosimilitud, se puede utilizar para estimar el parámetro \( \lambda \) de la distribución Poisson a partir de los datos observados.