Optimización rectángulo área máxima

Para encontrar las dimensiones de un rectángulo que maximice su área, podemos seguir los siguientes pasos:

1. Sea \( x \) la longitud de un lado del rectángulo y \( y \) la longitud del otro lado. Entonces, el área del rectángulo es \( A = x \cdot y \).

2. Como queremos maximizar el área, necesitamos expresar \( y \) en función de \( x \) para luego encontrar el valor de \( x \) que maximice \( A \).

3. Para hacer esto, podemos utilizar la restricción del problema, que es que el perímetro del rectángulo es constante. El perímetro de un rectángulo es \( P = 2x + 2y \).

4. Dado que el perímetro es constante, podemos despejar \( y \) en términos de \( x \) de la ecuación del perímetro: \( y = \frac{P}{2} - x \).

5. Sustituimos esta expresión de \( y \) en la fórmula del área: \( A = x \cdot \left( \frac{P}{2} - x \right) \).

6. Expandimos y simplificamos la expresión para obtener una función de \( A \) en términos de \( x \): \( A = \frac{P}{2}x - x^2 \).

7. Para encontrar el valor de \( x \) que maximiza \( A \), derivamos la función \( A \) con respecto a \( x \) y encontramos su punto crítico igualando la derivada a cero: \( \frac{dA}{dx} = \frac{P}{2} - 2x = 0 \).

8. Resolvemos la ecuación para encontrar el valor de \( x \) que maximiza el área.

9. Una vez que tenemos el valor de \( x \), podemos encontrar el valor correspondiente de \( y \) utilizando la expresión \( y = \frac{P}{2} - x \).

Este método nos permitirá encontrar las dimensiones del rectángulo que maximizan su área dada una restricción en el perímetro.